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Práctica

Problemas resueltos y quiz

Lee el enunciado, intenta resolverlo y solo después abre el resultado. Si te atascas, la solución paso a paso está justo debajo.

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1Carga y materia

SP21

Fuerza de un hilo finito sobre una carga

Un hilo recto de largo \(2L\) tiene densidad uniforme \(\lambda\). Halla la fuerza sobre una carga \(q\) situada sobre la mediatriz del hilo, a distancia \(D\) de su centro.

Resultado
\(\displaystyle F=\frac{2kq\lambda L}{D\sqrt{D^2+L^2}}\), perpendicular al hilo.
Solución paso a paso
  1. Trocito \(dq=\lambda\,dx\) a distancia \(r=\sqrt{x^2+D^2}\).
  2. Por simetría solo queda la componente perpendicular: \(dF=kq\lambda D\,dx/r^3\).
  3. Integrar de \(-L\) a \(L\): \(\int dx/(x^2+D^2)^{3/2}=2L/(D^2\sqrt{L^2+D^2})\).
  4. Desarrollo completo en la demostración del hilo.
S1P46

Dos esferas colgadas que se repelen

Dos esferitas de cobre iguales, de masa \(m\) y carga \(q\), cuelgan de hilos de largo \(l\) desde el mismo punto. Para ángulos pequeños, halla su separación \(x\).

Resultado
\(\displaystyle x=\left(\frac{l\,q^2}{2\pi\varepsilon_0\,mg}\right)^{1/3}\)
Solución paso a paso
  1. Equilibrio: \(T\cos\theta=mg\) y \(T\sin\theta=F_e\), así que \(\tan\theta=F_e/mg\).
  2. Ángulo pequeño: \(\tan\theta\approx\sin\theta=\dfrac{x/2}{l}\).
  3. Coulomb: \(F_e=kq^2/x^2\). Igualando: \(\dfrac{x}{2l}=\dfrac{kq^2}{mgx^2}\).
  4. \(x^3=\dfrac{2klq^2}{mg}=\dfrac{lq^2}{2\pi\varepsilon_0mg}\).

3Ley de Gauss

S1P13

Densidad de un hilo a partir de una velocidad

Una partícula de masa \(m\) y carga \(q\) parte del reposo a distancia \(a\) de un hilo infinito con densidad \(\lambda\) (mismo signo) y llega a \(2a\) con rapidez \(v_0\). Halla \(\lambda\).

Resultado
\(\displaystyle \lambda=\frac{\pi\varepsilon_0\,m\,v_0^2}{q\ln 2}\)
Solución paso a paso
  1. Gauss con un cilindro: \(E=\lambda/(2\pi\varepsilon_0r)\).
  2. \(V(a)-V(2a)=\int_a^{2a}E\,dr=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln 2\).
  3. Energía: \(q\,[V(a)-V(2a)]=\tfrac12mv_0^2\).
  4. Despejar \(\lambda\).
S1P6

La nube electrónica del hidrógeno

En el átomo de hidrógeno, la carga del electrón se reparte como \(\rho(r)=\rho_0e^{-2r/a_0}\). Halla (a) \(\rho_0\), (b) la carga dentro del radio de Bohr y (c) el campo de la nube a distancia \(r\).

Resultados
(a) \(\rho_0=-\dfrac{e}{\pi a_0^3}\)
(b) \(q(a_0)=-e\,(1-5e^{-2})\approx-0{,}323\,e\)
(c) \(E=-\dfrac{e}{4\pi\varepsilon_0r^2}\Big[1-e^{-2r/a_0}\Big(1+\dfrac{2r}{a_0}+\dfrac{2r^2}{a_0^2}\Big)\Big]\)
Solución paso a paso
  1. (a) \(\int_0^\infty\rho_0e^{-2r/a_0}4\pi r^2dr=\rho_0\pi a_0^3=-e\).
  2. (b) Integrando hasta \(r\): \(q(r)=-e\big[1-e^{-2r/a_0}(1+2r/a_0+2r^2/a_0^2)\big]\); en \(r=a_0\) el paréntesis vale 5.
  3. (c) Gauss con una esfera: \(E\cdot4\pi r^2=q(r)/\varepsilon_0\).
  4. Si se suma el protón (\(+e\)), el átomo completo da \(E=\dfrac{e\,e^{-2r/a_0}}{4\pi\varepsilon_0r^2}\big(1+\tfrac{2r}{a_0}+\tfrac{2r^2}{a_0^2}\big)\), que se anula lejos: el átomo es neutro.

4Potencial y energía

S2P1

Potencial dentro de una esfera no uniforme

Una esfera de radio \(R\) tiene densidad \(\rho(r)=\rho_0\,r/R\). Halla el potencial en su interior.

Resultado
\(\displaystyle V_I=\frac{\rho_0R^2}{4\varepsilon_0}-\frac{\rho_0}{4R\varepsilon_0}\cdot\frac{r^3-R^3}{3}\)
Solución paso a paso
  1. Carga total: \(Q=\int_0^R\rho_0\frac{r}{R}4\pi r^2dr=\pi\rho_0R^3\).
  2. Fuera: \(V=kQ/r\), así que \(V(R)=\rho_0R^2/(4\varepsilon_0)\).
  3. Dentro (Gauss): \(E=\dfrac{\rho_0r^2}{4\varepsilon_0R}\).
  4. \(V(r)=V(R)+\int_r^RE\,dr\).
S2P17

Energía de armado de una esfera uniforme

¿Cuánta energía cuesta juntar una carga \(Q\) en una esfera uniforme de radio \(R_0\)?

Resultado
\(\displaystyle U=\frac{3kQ^2}{5R_0}\)
Solución paso a paso
  1. Traer capas \(dq\) contra la carga ya armada \(q(r)=Qr^3/R_0^3\).
  2. \(dU=kq(r)\,dq/r\) e integrar de 0 a \(R_0\).
  3. Desarrollo completo en la demostración de la esfera.
S2P38

Potencial en el eje de un anillo

Un anillo de radio \(a\) tiene carga \(Q\). Halla \(V\) en un punto de su eje a distancia \(x\).

Resultado
\(\displaystyle V(x)=\frac{kQ}{\sqrt{x^2+a^2}}\)
Solución paso a paso
  1. Todos los \(dq\) están a la misma distancia \(\sqrt{x^2+a^2}\).
  2. \(V=\int k\,dq/r\) y la distancia sale de la integral.
  3. Ver la demostración del anillo.
S2P39

Oscilación en el centro del anillo

Una carga \(q\) de signo opuesto a \(Q\) y masa \(m\) se aparta un poco del centro del anillo a lo largo del eje. Halla la frecuencia de oscilación.

Resultado
\(\displaystyle \nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k|Qq|}{ma^3}}\)
Solución paso a paso
  1. \(E_x=-dV/dx=kQx/(x^2+a^2)^{3/2}\approx kQx/a^3\) si \(|x|\ll a\).
  2. Fuerza restauradora \(F=-k|Qq|x/a^3\): ley de Hooke.
  3. \(\omega^2=k|Qq|/(ma^3)\) y \(\nu=\omega/2\pi\).
S2P21

Energía de cuatro cargas en un rectángulo

Cuatro cargas puntuales en las esquinas de un rectángulo (valores y medidas del enunciado de la guía). Halla la energía necesaria para armar la configuración.

Resultado
\(E_{p,el}\approx-3{,}96\ \text{J}\)
Método
  1. Hay \(\binom42=6\) pares: 4 lados y 2 diagonales.
  2. \(E_p=\sum_{i<j}kq_iq_j/r_{ij}\), con \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) para las diagonales.
  3. El signo negativo indica que el sistema está ligado: habría que dar 3,96 J para separarlo.
S2P35

Forma de las equipotenciales del dipolo

Muy lejos de un dipolo de momento \(p\), ¿qué forma tienen las superficies de potencial \(V\) constante?

Resultado
\(r^2=b\cos\theta\), con \(b=kp/V\)
Solución paso a paso
  1. Dipolo lejano: \(V=kp\cos\theta/r^2\).
  2. Fijando \(V\): \(r^2=(kp/V)\cos\theta\). Son superficies cerradas que pasan por el dipolo.

5Condensadores y dieléctricos

S3P36

Energía de una esfera de densidad uniforme

Calcula la energía almacenada en el campo de una esfera de radio \(R\) y densidad \(\rho\) uniforme. ¿Qué fracción está dentro de la esfera?

Resultado
\(\displaystyle U=\frac{4\pi\rho^2R^5}{15\varepsilon_0}=\frac{3kQ^2}{5R}\); dentro queda \(1/6\).
Solución paso a paso
  1. \(u=\tfrac12\varepsilon_0E^2\) con \(E=\rho r/(3\varepsilon_0)\) dentro y \(kQ/r^2\) fuera.
  2. \(U_{\text{dentro}}=kQ^2/(10R)\), \(U_{\text{fuera}}=kQ^2/(2R)\).
  3. Con \(Q=\tfrac43\pi R^3\rho\) se llega a la primera forma. Ver la demostración.
S3P31

Condensador con dieléctrico K = 5 a 300 V

(a–f) Condensador de placas con \(K=5\) conectado a \(\Delta V=300\) V. (g) Lo mismo, pero esférico, con radios de 12 cm y 15 cm.

Resultados
Placas: \(C_K=55{,}3\ \text{pF}\), \(Q=16{,}6\ \text{nC}\), \(U=2{,}49\ \mu\text{J}\)
Esférico: \(C_K=334\ \text{pF}\), \(Q=100\ \text{nC}\), \(U=15{,}0\ \mu\text{J}\)
Solución paso a paso
  1. \(C_K=KC_0\). Esférico: \(C_0=4\pi\varepsilon_0ab/(b-a)=66{,}8\ \text{pF}\).
  2. \(Q=C_K\Delta V\) y \(U=\tfrac12C_K\Delta V^2\).
  3. Compruébalo en la calculadora de condensadores.
S3P2

Carga dentro de un cascarón dieléctrico

Una carga \(q_0\) está en el centro de un cascarón esférico de dieléctrico \(K\). Halla el campo en todas partes.

Resultado
\(\displaystyle E=\frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0r^2}\) en el vacío, y dividido entre \(K\) dentro del dieléctrico.
Solución paso a paso
  1. Gauss para \(\vec D\): solo cuenta la carga libre, \(D\cdot4\pi r^2=q_0\).
  2. \(E=D/\varepsilon\), con \(\varepsilon=K\varepsilon_0\) en el dieléctrico y \(\varepsilon_0\) fuera.

6Corriente y circuitos

S3P20

Resistencia de un tronco de cono

Un conductor de resistividad \(\rho\) tiene forma de tronco de cono de largo \(L\) y radios \(a\) y \(b\) en sus extremos. Halla su resistencia.

Resultado
\(\displaystyle R=\frac{\rho L}{\pi ab}\)
Solución paso a paso
  1. Radio a distancia \(x\): \(r(x)=a+(b-a)x/L\).
  2. Rebanadas en serie: \(dR=\rho\,dx/(\pi r^2)\).
  3. \(R=\dfrac{\rho L}{\pi(b-a)}\Big(\dfrac1a-\dfrac1b\Big)=\dfrac{\rho L}{\pi ab}\).
S3P15

Tubo cilíndrico con corriente radial

(a) Un tubo de radios \(a\) y \(b\) y largo \(L\) conduce corriente en dirección radial. Halla \(R\). (b) Filamento de carbón con \(a=0{,}4\) cm, \(b=3\) cm, \(L=30\) cm.

Resultados
(a) \(\displaystyle R=\frac{\rho\ln(b/a)}{2\pi L}\)   (b) \(R\approx37{,}4\ \mu\Omega\)
Solución paso a paso
  1. Cascarones en serie: \(dR=\rho\,dr/(2\pi rL)\).
  2. Integrar de \(a\) a \(b\).
  3. (b) Con \(\rho_{\text{carbón}}=3{,}5\times10^{-5}\ \Omega\cdot\text{m}\): \(R=3{,}5\times10^{-5}\cdot\ln 7{,}5/(2\pi\cdot0{,}3)\).
S3P12

Lectura del amperímetro

En el circuito del enunciado de la guía, halla la corriente total y la que marca el amperímetro.

Resultado
\(I\approx0{,}690\ \text{A}\), \(I_A\approx0{,}276\ \text{A}\)
Método
  1. Reducir las resistencias en serie y paralelo hasta una \(R_{eq}\).
  2. \(I=\varepsilon/R_{eq}\) y repartir la corriente con el divisor de corriente.
  3. Si hay más de una fuente, usar las leyes de Kirchhoff con el criterio de la figura 6.1.
S3P19

Constante de tiempo de un circuito RC

En el circuito del enunciado de la guía, halla la constante de tiempo y el voltaje final en el condensador de 3 μF.

Resultado
\(\tau=12\ \mu\text{s}\), \(\Delta V_1\approx5{,}06\ \text{V}\)
Método
  1. \(\tau=R_{eq}C_{eq}\), con la resistencia vista por los condensadores.
  2. Condensadores en serie tienen la misma carga: el voltaje se reparte en proporción a \(1/C\).
  3. Mira cómo cambia la curva con τ en el simulador RC.
S3P17

Las tres resistencias de un cuarto de anillo

Un cuarto de anillo de radios \(a\) y \(b\), espesor \(t\) y conductividad \(\sigma\). Halla la resistencia (1) a través del espesor, (2) en dirección radial y (3) entre sus extremos planos.

Resultados
(1) \(\dfrac{4t}{\sigma\pi(b^2-a^2)}\)   (2) \(\dfrac{2\ln(b/a)}{\pi t\sigma}\)   (3) \(\dfrac{\pi}{2\sigma t\ln(b/a)}\)
Solución paso a paso
  1. (1) Área \(\pi(b^2-a^2)/4\), largo \(t\): \(R=t/(\sigma A)\).
  2. (2) Arcos en serie: \(dR=dr/(\sigma\,t\,\pi r/2)\).
  3. (3) Tiras en paralelo: \(dG=\sigma\,t\,dr/(\pi r/2)\), así que \(G=2\sigma t\ln(b/a)/\pi\).

Quiz de conceptos

12 preguntas rápidas. Cada respuesta trae su explicación.