Demostraciones · Campo y Corriente

Coulomb + superposición

Campo de un hilo de largo 2L

Un hilo recto de largo \(2L\) con densidad uniforme \(\lambda\). Buscamos el campo en un punto P a distancia \(D\) sobre su mediatriz.

\(\displaystyle E=\frac{2k\lambda L}{D\sqrt{D^2+L^2}}\)Resultado

Cortar el hilo en trocitos

Ponemos el hilo sobre el eje \(x\), de \(-L\) a \(L\), y el punto en \(P=(0,D)\). Un trocito \(dx\) tiene carga \(dq=\lambda\,dx\) y está a una distancia \(r=\sqrt{x^2+D^2}\) de P.
Usar la simetría

Por cada trocito en \(x\) hay otro en \(-x\). Sus componentes horizontales se cancelan y solo sobrevive la vertical, que es la componente a lo largo de \(D/r\):
\[dE_y=\frac{k\,\lambda\,dx}{r^2}\cdot\frac{D}{r}=\frac{k\lambda D\,dx}{(x^2+D^2)^{3/2}}\]
Plantear la integral
\[E=k\lambda D\int_{-L}^{L}\frac{dx}{(x^2+D^2)^{3/2}}\]
Es una integral estándar (sale con \(x=D\tan\theta\)): \(\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+D^2)^{3/2}}=\frac{x}{D^2\sqrt{x^2+D^2}}\).
Evaluar entre los límites
\[E=k\lambda D\left[\frac{x}{D^2\sqrt{x^2+D^2}}\right]_{-L}^{L}=k\lambda D\cdot\frac{2L}{D^2\sqrt{L^2+D^2}}\] \[\boxed{E=\frac{2k\lambda L}{D\sqrt{D^2+L^2}}}\qquad F=qE\]
Comprobar con dos límites

Hilo muy largo (\(L\to\infty\)): \(E\to 2k\lambda/D=\lambda/(2\pi\varepsilon_0D)\), el campo del hilo infinito que también da Gauss.

Muy lejos (\(D\gg L\)): \(E\to k(2L\lambda)/D^2\), el campo de una carga puntual \(Q=2L\lambda\). ¡Todo cuadra!

Lo que te llevas: busca la simetría antes de integrar; casi siempre te ahorra la mitad del trabajo.

Errores comunes

Integrar el módulo \(dE\) sin proyectar sobre el eje.
Olvidar que \(r\) cambia con \(x\).

Flujo y simetría

De Coulomb a la ley de Gauss

Partimos del campo de una carga puntual y llegamos a que el flujo por cualquier superficie cerrada solo depende de la carga encerrada.

\(\displaystyle \oint_S\vec E\cdot d\vec A=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}\)Resultado

Qué es el flujo

El flujo cuenta cuánto campo atraviesa una superficie. El vector \(d\vec A\) es normal a la superficie y apunta hacia afuera:
\[\Phi_E=\oint_S\vec E\cdot d\vec A\]
Una esfera alrededor de una carga

Sobre una esfera de radio \(r\) centrada en \(q\), el campo es radial (paralelo a \(d\vec A\)) y tiene el mismo módulo en todos lados. Sale de la integral:
\[\Phi_E=E\oint dA=\frac{kq}{r^2}\,(4\pi r^2)=4\pi kq=\frac{q}{\varepsilon_0}\]
El radio se cancela: el flujo no depende del tamaño de la esfera.
Cualquier superficie que rodee la carga

Cada trocito de superficie «ve» la carga bajo un ángulo sólido \(d\Omega=\hat r\cdot d\vec A/r^2\). Entonces \(\vec E\cdot d\vec A=kq\,d\Omega\), y el ángulo sólido total alrededor de un punto siempre es \(4\pi\):
\[\oint\vec E\cdot d\vec A=kq\oint d\Omega=4\pi kq=\frac{q}{\varepsilon_0}\]
¿Y si la carga queda afuera?

Las líneas que entran por un lado salen por el otro: los ángulos sólidos se cancelan y el flujo neto es cero. Las cargas externas no aportan.
Sumar todas las cargas

Por superposición, el campo total es la suma de los campos, y el flujo total la suma de los flujos. Solo sobreviven las cargas de adentro:
\[\boxed{\oint_S\vec E\cdot d\vec A=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}}\]
Usarla: hilo infinito

Gaussiana: un cilindro de radio \(r\) y alto \(h\). Por las tapas no hay flujo (\(\vec E\) es radial); por el costado, \(E\cdot 2\pi rh\). La carga dentro es \(\lambda h\):
\[E\,(2\pi rh)=\frac{\lambda h}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\]
Coincide con el límite \(L\to\infty\) de la demostración del hilo finito.

Checklist de simetría

Esférica: \(E\) depende solo de \(r\).
Cilíndrica: \(E\) depende solo de la distancia al eje.
Plano infinito: \(E\) constante a cada lado.

Errores comunes

Usar la carga total en lugar de \(q_{\text{enc}}\).
Elegir una gaussiana sin simetría útil.

Potencial → campo → oscilación

Potencial en el eje de un anillo

Un anillo de radio \(a\) con carga \(Q\) uniforme. Calculamos \(V\) en su eje, sacamos el campo derivando y vemos por qué una carga opuesta oscila en el centro.

\(\displaystyle V(x)=\frac{kQ}{\sqrt{x^2+a^2}}\qquad \nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k|Qq|}{ma^3}}\)Resultados

Todos los trocitos están a la misma distancia

Un punto del eje a distancia \(x\) del centro está a \(r=\sqrt{x^2+a^2}\) de cada trocito \(dq\) del anillo. Como \(V\) es un escalar, no hay que proyectar nada:
\[V=\int\frac{k\,dq}{r}=\frac{k}{\sqrt{x^2+a^2}}\int dq=\frac{kQ}{\sqrt{x^2+a^2}}\]
El campo sale derivando

Por simetría el campo en el eje solo tiene componente \(x\):
\[E_x=-\frac{dV}{dx}=\frac{kQ\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}}\]
En el centro (\(x=0\)) el campo es cero, aunque \(V\) sea máximo.
Cerca del centro

Si \(|x|\ll a\), el denominador es casi \(a^3\):
\[E_x\approx\frac{kQ}{a^3}\,x\]
El campo crece linealmente con \(x\), como un resorte.
Una carga de signo opuesto

Si \(q\) tiene signo contrario a \(Q\), la fuerza apunta siempre hacia el centro:
\[F=-\frac{k|Qq|}{a^3}\,x\]
Es la ley de Hooke con constante \(k_{\text{ef}}=k|Qq|/a^3\).
Frecuencia de oscilación
\[\omega^2=\frac{k_{\text{ef}}}{m}=\frac{k|Qq|}{ma^3}\;\Rightarrow\;\boxed{\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k|Qq|}{ma^3}}}\]
Si \(q\) y \(Q\) tienen el mismo signo, el centro es un punto de equilibrio inestable en el eje.

Lo que te llevas: calcular \(V\) (escalar) y derivar suele ser más fácil que integrar \(\vec E\) (vector) directamente.

Errores comunes

Pensar que \(E=0\) implica \(V=0\).
Olvidar la condición de ángulo pequeño \(|x|\ll a\).

Energía de armado

Energía para armar una esfera cargada

¿Cuánto trabajo cuesta juntar una carga \(Q\) en una esfera uniforme de radio \(R\)? Lo hacemos de dos formas y comprobamos que coinciden.

\(\displaystyle U=\frac{3kQ^2}{5R}\)Resultado

Armar la esfera capa por capa

Imagina que ya armaste una esfera de radio \(r\). Su carga es \(q(r)=Q\,r^3/R^3\) y, desde afuera, actúa como una carga puntual en el centro.
Traer una capa nueva

Traemos desde el infinito una capa de espesor \(dr\), con carga \(dq=\rho\,4\pi r^2dr=3Q\,r^2dr/R^3\). El trabajo es carga por potencial:
\[dU=\frac{k\,q(r)}{r}\,dq=\frac{kQr^3}{R^3\,r}\cdot\frac{3Qr^2}{R^3}\,dr=\frac{3kQ^2}{R^6}\,r^4\,dr\]
Integrar de 0 a R
\[U=\frac{3kQ^2}{R^6}\int_0^R r^4\,dr=\frac{3kQ^2}{R^6}\cdot\frac{R^5}{5}=\boxed{\frac{3kQ^2}{5R}}\]
Comprobar con la energía del campo

La energía también vive en el campo, con densidad \(u=\tfrac12\varepsilon_0E^2\). Dentro \(E=kQr/R^3\) y fuera \(E=kQ/r^2\):
\[U_{\text{dentro}}=\frac{kQ^2}{10R}\qquad U_{\text{fuera}}=\frac{kQ^2}{2R}\] \[U_{\text{dentro}}+U_{\text{fuera}}=\frac{kQ^2}{R}\left(\frac{1}{10}+\frac{5}{10}\right)=\frac{3kQ^2}{5R}\;✓\]
Un dato curioso

La fracción de energía que queda dentro de la esfera es \(\dfrac{1/10}{6/10}=\dfrac16\). ¡El 83 % de la energía está en el espacio de afuera! (Es la figura 5.2 de la teoría.)

Lo que te llevas: la energía de un sistema de cargas se puede contar como trabajo de armado o como energía guardada en el campo. Ambas dan lo mismo.

Errores comunes

Usar la carga total \(Q\) en vez de \(q(r)\) al traer cada capa.
Olvidar la energía del campo exterior.

Trabajo incremental

Energía almacenada en un condensador

Cargar un condensador cuesta trabajo, porque cada carga nueva hay que empujarla contra las que ya están. Ese trabajo queda guardado en el campo.

\(\displaystyle U=\frac{Q^2}{2C}=\frac12C\,\Delta V^2=\frac12Q\,\Delta V\)Resultado

Pasar carga de una placa a la otra

Cuando el condensador tiene carga \(q\), el voltaje entre placas es \(v=q/C\). Pasar un poquito \(dq\) más cuesta:
\[dW=v\,dq=\frac{q}{C}\,dq\]
Sumar desde 0 hasta Q
\[U=\int_0^Q\frac{q}{C}\,dq=\frac{Q^2}{2C}\]
Usando \(Q=C\Delta V\) salen las otras dos formas: \(\tfrac12C\Delta V^2\) y \(\tfrac12Q\Delta V\).
¿Por qué el ½?

Al principio cuesta poco (el voltaje es cero) y al final cuesta \(\Delta V\) por unidad de carga. En promedio se paga la mitad: \(U=Q\cdot\tfrac{\Delta V}{2}\).
Densidad de energía

Para placas paralelas, \(C=\varepsilon_0A/d\) y \(\Delta V=Ed\):
\[U=\frac12\frac{\varepsilon_0A}{d}(Ed)^2=\frac12\varepsilon_0E^2\,(Ad)\]
Como \(Ad\) es el volumen entre placas: \(\boxed{u=\tfrac12\varepsilon_0E^2}\). Vale para cualquier campo.
Meter un dieléctrico

Con la batería conectada (\(\Delta V\) fijo): \(C\to KC\), así que \(Q\) y \(U\) suben \(K\) veces.

Con la batería desconectada (\(Q\) fijo): \(U=Q^2/2C\) baja \(K\) veces; el dieléctrico es atraído hacia dentro.

Pruébalo: en la calculadora de condensadores cambia K con la batería conectada y desconectada.

Errores comunes

Escribir \(U=Q\Delta V\) (falta el ½).
No fijarse qué se mantiene constante: \(Q\) o \(\Delta V\).

Kirchhoff + ecuación diferencial

Carga de un circuito RC

Una fuente \(\varepsilon\), una resistencia \(R\) y un condensador \(C\) descargado. Cerramos el interruptor en \(t=0\). ¿Cómo crece la carga y a dónde va la energía?

\(\displaystyle q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)\)Resultado

Recorrer la malla

Por Kirchhoff, la fuente sube \(\varepsilon\), la resistencia baja \(iR\) y el condensador baja \(q/C\):
\[\varepsilon-iR-\frac{q}{C}=0,\qquad i=\frac{dq}{dt}\]
Separar variables
\[R\frac{dq}{dt}=\frac{C\varepsilon-q}{C}\;\Rightarrow\;\frac{dq}{C\varepsilon-q}=\frac{dt}{RC}\]
Integrar con q(0) = 0
\[-\ln\!\left(\frac{C\varepsilon-q}{C\varepsilon}\right)=\frac{t}{RC}\;\Rightarrow\;\boxed{q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)}\]
Derivando: \(i(t)=\dfrac{\varepsilon}{R}\,e^{-t/RC}\). La constante de tiempo es \(\tau=RC\): en un \(\tau\) se alcanza el 63 % de la carga final.
Energía que entrega la fuente
\[W_{\text{fuente}}=\int_0^\infty\varepsilon\,i\,dt=\varepsilon\,Q_f=C\varepsilon^2\]
Energía que se pierde en R
\[W_R=\int_0^\infty i^2R\,dt=\frac{\varepsilon^2}{R}\int_0^\infty e^{-2t/RC}dt=\frac{\varepsilon^2}{R}\cdot\frac{RC}{2}=\frac12C\varepsilon^2\]
Y en el condensador queda \(U_C=\tfrac12C\varepsilon^2\). Mitad y mitad, sin importar \(R\).

Pruébalo: en el simulador RC cambia \(R\) y mira cómo cambia \(\tau\), pero no el reparto de energía.

Errores comunes

Signos al recorrer la malla: revisa el criterio de la figura 6.1.
Pensar que una R pequeña ahorra energía: solo carga más rápido.

Demostraciones paso a paso

Campo de un hilo de largo 2L

Cortar el hilo en trocitos

Usar la simetría

Plantear la integral

Evaluar entre los límites

Comprobar con dos límites

De Coulomb a la ley de Gauss

Qué es el flujo

Una esfera alrededor de una carga

Cualquier superficie que rodee la carga

¿Y si la carga queda afuera?

Sumar todas las cargas

Usarla: hilo infinito

Potencial en el eje de un anillo

Todos los trocitos están a la misma distancia

El campo sale derivando

Cerca del centro

Una carga de signo opuesto

Frecuencia de oscilación

Energía para armar una esfera cargada

Armar la esfera capa por capa

Traer una capa nueva

Integrar de 0 a R

Comprobar con la energía del campo

Un dato curioso

Energía almacenada en un condensador

Pasar carga de una placa a la otra

Sumar desde 0 hasta Q

¿Por qué el ½?

Densidad de energía

Meter un dieléctrico

Carga de un circuito RC

Recorrer la malla

Separar variables

Integrar con q(0) = 0

Energía que entrega la fuente

Energía que se pierde en R